波动方程

均匀介质里的小振动服从波动方程：位移的加速度正比于空间上的弯曲，比例系数是波速的平方。

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} u$$

图中同时给出一维弦和二维矩形膜。边界位移固定为 0。初值是一个静止的高斯波包，上一时间层与当前层相同，因此初始速度为零。波包会裂成两列反向传播的波，碰到固定边界后相位翻转，再反射回来。

时间用二阶中心差分，空间在一维用三点模板、在二维用五点模板，得到显式更新。记 $r = c \Delta t / \Delta x$。一维要求 $r < 1$；二维五点格式还要求 $r \le 1/\sqrt{2}$，否则数值解会发散。演示取 $\Delta x = 1$，并按当前波速选取 $\Delta t$，使 $r$ 始终不超过 0.9。

$$u_{i}^{n+1} = 2 u_{i}^{n} - u_{i}^{n-1} + r^{2} \left( u_{i+1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n} \right), \quad r = \frac{c \Delta t}{\Delta x} < 1$$

拖动「波速 c」会按新的 $r$ 重新生成整场。暂停 / 继续用来停住或恢复动画，重置回到同一个初始波包。一维结果画成折线，二维结果画在画布上：负位移偏蓝，零为白色，正位移偏红。